¿Cómo evito que MySQL actualice la columna con una cadena vacía?

Puede usar la instrucción IF para cada campo que necesite verificar. Por ejemplo:

$q = "UPDATE mdl_user SET firstname=IF(LENGTH('$fname')=0, firstname, '$fname'), lastname=IF(LENGTH('$lname')=0, lastname, '$lname'), email=IF(LENGTH('$email')=0, email, '$email'), address='$address', city='$city', school='$school', phone1='$phone' WHERE id='$uid'";