MySQL une dos tablas con el valor máximo en otro campo

Debe usar dos subconsultas como esta:

SELECT a.cid, a.name, a.mobile, b.date, b.balance
FROM account a 
JOIN
(
    SELECT b1.* FROM balance b1
    JOIN
    (
      SELECT cid, MAX(Date) As maxDate
      FROM balance
      GROUP BY cid
    ) b2
    ON b1.cid = b2.cid
    AND b1.date = b2.maxDate
) b
ON a.cid = b.cid;

Salida:

Vea este SQLFiddle

Editar

Como se discutió en los comentarios, esta consulta también se puede escribir con una sola subconsulta:

SELECT a.cid, a.name, a.mobile, b1.date, b1.balance 
FROM account a 
JOIN balance b1 ON a.cid = b1.cid     
JOIN (
    SELECT cid, MAX(Date) As maxDate 
    FROM balance 
    GROUP BY cid
) b2 
ON b1.cid = b2.cid 
AND b1.date = b2.maxDate

Consulte el SQLFiddle ajustado