Cómo actualizar MySQL con PHP y AJAX sin ACTUALIZAR la PÁGINA

Ajax en jQuery funciona así:

var myData=1;
$.ajax({
    type:'POST',//type of ajax
    url:'mypage.php',//where the request is going
    data:myData,//the variable you want to send
    beforeSend:function(xhr){//as a standard, I add this to validate stuff
        if(someThingWrong===true)xhr.abort//aborts xhttpRequest
   },
   success:function(result){
       //result is your result from the xhttpRequest.
   }
});

Esto no actualizará su página sino que enviará un 'POST' a la URL especificada. En su página especificada, desea hacer lo que sea que desee hacer y decir devolver un resultado. En mi ejemplo, haré algo simple:

if($_POST['myData']===1)return True;

Eso es lo básico de una solicitud AJAX usando jQuery.

¡EDITAR!

iniciando un script AJAX:¡Solo supongo que no conozco sus elementos dentro de su html ni sus scripts! ¡Así que tendrás que hacer ajustes!

$('button.dislike').click(function(){
    $.ajax({
        type:'POST',
        url:'disliked.php',
        data:{dislike:$(this).attr('id')},
        success:function(result){
            $(this).prev('span').append(result);
        }
    });
 });

PHP:no use mysql, ahora se depreció y se considera una mala práctica, tampoco sé por qué está usando sprintf en la consulta. :S

$DBH=new mysqli('location','username','password','database');
$get=$DBH->prepare("SELECT dislike FROM random WHERE ids=?");
$get->bind_param('i',$_POST['dislike']);
$get->execute();
$get->bind_result($count);
$get->close();
$update=$DBH->prepare('UPDATE random SET dislike=? WHERE ids=?');
$update->bind_param('ii',++$count,$_POST['dislike']);//if you get an error here, reverse the operator to $count++.
$update->execute();
$update->close();
return String $count++;

Esto solo funcionará si en su HTML hay una serie de botones con ID que coinciden con los de su base de datos. Entonces

$get=$DBH->prepare('SELECT ids FROM random');
$get->execute();
$get->bind_result($ids);
while($get->fetch()){
    echo"<button class='dislike' id='".$ids."'>Dislike this?</button>";
}

Espero que tengas una idea general de cómo estoy manejando tu sistema de botones de no me gusta XD lol