SQLSTATE[HY093]:número de parámetro no válido

Según PDO::Prepare

Así que active el modo de emulación

$db->setAttribute(PDO::ATTR_EMULATE_PREPARES, TRUE);

o cambiar a -

$sql = "SELECT * FROM `character` WHERE `name` LIKE :search1  OR `play` LIKE :search2";
$query = $db->prepare($sql); 
$query->execute(array(':search1' => strip_tags($_POST['search']),':search2' => strip_tags($_POST['search'])));

Además, dado que está usando LIKE en su consulta, querrá agregar comodines % a tus valores

$query->execute(array(':search1' => "%".strip_tags($_POST['search'])."%",':search2' => "%".strip_tags($_POST['search'])."%"));