Obtener el mismo resultado al intentar encontrar datos diferentes

Su problema es la falta de corchetes:en SQL AND tiene prioridad sobre OR , por lo que debe poner corchetes alrededor de toda su expresión anterior:

SELECT * FROM dim_date
WHERE ( -- added bracket
 EXTRACT (MONTH FROM date_cal) BETWEEN 3 AND 5
 OR (EXTRACT (MONTH FROM date_cal) = 2 AND EXTRACT (DAY FROM date_cal) >= 15)
 OR (EXTRACT (MONTH FROM date_cal) = 6 AND EXTRACT (DAY FROM date_cal) <= 21)
 ) -- added bracket
AND EXTRACT (YEAR FROM date_cal) BETWEEN 2010 AND 2012

Sin los corchetes, obtienes A or B or (C and D) , pero quieres (A or B or C) and D