Runtime.getRuntime().exec para pasar el parámetro cuando se le solicite

Puede abrir el flujo de salida del proceso y pasar la frase de contraseña que el servidor leerá como si la hubiera escrito y viniera de STDIN.

final Process startServer = Runtime.getRuntime().exec("PostgreQL -D data/dir/ start");
PrintStream ps = new PrintStream(startServer.getOutputStream());
ps.println(passPhrase);