Si necesita o no poner un jar en el directorio lib de Tomcat depende de si Tomcat necesita saberlo o no. Y eso depende de cómo estés configurando las cosas.
Como regla general, si menciona una clase en un archivo de configuración de Tomcat, entonces esa clase (y aquellas de las que depende) deben estar en el directorio lib de Tomcat.
Por ejemplo, si configura su fuente de datos en los archivos de configuración de Tomcat, entonces debe hacer que su clase de controlador esté disponible para Tomcat. Si, en cambio, configura su fuente de datos dentro del código de su aplicación, no lo hará.
No especifica cómo está configurando C3P0, por lo que no podemos decirle dónde debe estar el jar. Por supuesto, si Tomcat lo necesita y no está allí, debería esperar ver una excepción registrada y las cosas no funcionarán correctamente.
