La fecha no se envía a mysql

Intente agregar marcas alrededor del campo de fecha en su consulta. Siempre que esté SEGURO de que la entrada tiene el formato Y-m-d, lo más probable es que solucione su problema:

$date = date("Y-m-d", strtotime($_POST['date']));
$result = mysqli_query($link,"INSERT INTO visit_exclude_dates (date) VALUES ('{$date}')");

if(!$result) {
    echo "Error: " . $link->error);
    die();
}

$result->close();
$link->close();