Agrupar y contar por mes

Debe usar la palabra clave $month en su grupo. Tu new Date().getMonth() la llamada solo ocurrirá una vez e intentará crear un mes a partir de la cadena "$bookingdatetime".

db.booking.aggregate([
    {$group: {
        _id: {$month: "$bookingdatetime"}, 
        numberofbookings: {$sum: 1} 
    }}
]);