Use el operador $gte y <e mongo si la fecha está en formato de cadena en mongodb

Puede probar debajo de la agregación en mongodb 3.6

Puedes usar $dateFromString agregación para convertir su dob fromstring to date y luego fácilmente $count los documentos que aplican $match en él.

1) Uso de la agregación con $addFields

db.panelists.aggregate([
  { "$addFields": {
    "date": {
      "$dateFromString": { "dateString": "$dob", "format": "%m-%d-%Y" }
    } 
  }},
  { "$match": {
    "date": {
      "$gte": moment('08-02-1998').toDate(),
      "$lte": moment('08-02-2003').toDate()
    }
  }},
  { "$count": "count" }
])

2) Uso de consulta de búsqueda simple con $expr

db.collection.find({
  "$expr": {
    "$and": [
      {
        "$gte": [
          { "$dateFromString": { "dateString": "$dob", "format": "%m-%d-%Y" }},
          ISODate("2000-02-22T00:00:00Z")
        ]
      },
      {
        "$lte": [
          { "$dateFromString": { "dateString": "$dob", "format": "%m-%d-%Y" }},
          ISODate("2000-02-24T00:00:00Z")
        ]
      }
    ]
  }
})

3) Uso de la agregación con $expr

db.collection.aggregate([
  { "$match": {
    "$expr": {
      "$and": [
        {
          "$gte": [
            { "$dateFromString": { "dateString": "$dob", "format": "%m-%d-%Y" }},
            ISODate("2000-02-22T00:00:00Z")
          ]
        },
        {
          "$lte": [
            { "$dateFromString": { "dateString": "$dob", "format": "%m-%d-%Y" }},
            ISODate("2000-02-24T00:00:00Z")
          ]
        }
      ]
    }
  }}
])