Spring Data MongoDB Lookup con Pipeline Aggregation

Sobre la base de la información proporcionada por @dnickless, pude resolver esto. Publicaré la solución completa con la esperanza de que ayude a alguien más en el futuro.

Estoy usando mongodb-driver:3.6.4

Primero, tuve que crear una clase de operación de agregación personalizada para poder pasar una consulta JSON mongodb personalizada para usar en la operación de agregación. Esto me permitirá usar pipeline dentro de un $lookup que no es compatible con la versión del controlador que estoy usando.

public class CustomProjectAggregationOperation implements AggregationOperation {
    private String jsonOperation;

    public CustomProjectAggregationOperation(String jsonOperation) {
        this.jsonOperation = jsonOperation;
    }

    @Override
    public Document toDocument(AggregationOperationContext aggregationOperationContext) {
        return aggregationOperationContext.getMappedObject(Document.parse(jsonOperation));
    }
}

Ahora que tenemos la capacidad de pasar una consulta JSON personalizada a nuestra implementación de mongodb spring, todo lo que queda es conectar esos valores en una consulta TypedAggregation.

public List<FulfillmentChannel> getFulfillmentChannels(
    String SOME_VARIABLE_STRING_1, 
    String SOME_VARIABLE_STRING_2) {

    AggregationOperation match = Aggregation.match(
            Criteria.where("dayOfWeek").is(SOME_VARIABLE_STRING_1));
    AggregationOperation match2 = Aggregation.match(
            Criteria.where("deliveryZipCodeTimings").ne(Collections.EMPTY_LIST));
    String query =
            "{ $lookup: { " +
                    "from: 'deliveryZipCodeTiming'," +
                    "let: { location_id: '$fulfillmentLocationId' }," +
                    "pipeline: [{" +
                    "$match: {$expr: {$and: [" +
                    "{ $eq: ['$fulfillmentLocationId', '$$location_id']}," +
                    "{ $eq: ['$zipCode', '" + SOME_VARIABLE_STRING_2 + "']}]}}}," +
                    "{ $project: { _id: 0, zipCode: 1, cutoffTime: 1 } }]," +
                    "as: 'deliveryZipCodeTimings'}}";

    TypedAggregation<FulfillmentChannel> aggregation = Aggregation.newAggregation(
            FulfillmentChannel.class,
            match,
            new CustomProjectAggregationOperation(query),
            match2
    );

    AggregationResults<FulfillmentChannel> results = 
        mongoTemplate.aggregate(aggregation, FulfillmentChannel.class);
    return results.getMappedResults();
}