Consulta de fechas coincidentes dentro de la matriz

Te estás perdiendo $elemMatch operador en la consulta básica y el $filter que intentó con el marco de agregación en realidad tiene una sintaxis incorrecta.

Entonces, devolver el documento que coincide con las fechas dentro de ese rango en la matriz es:

// Simulating the date values
var start = new Date("2018-06-01"); // otherwise new Date(req.params.start)
var end = new Date("2018-07-01");   // otherwise new Date(req.params.end)

myColl.find({ 
  "_id": req.params.id,
  "someArray": {
    "$elemMatch": {  "$gte": start, "$lt": end  }
  }
}).then( doc => {
  // do something with matched document
}).catch(e => { console.err(e); res.send(e); })

Filtrar los elementos de matriz reales que se devolverán es:

// Simulating the date values
var start = new Date("2018-06-01");
var end = new Date("2018-07-01");

myColl.aggregate([
  { "$match": { 
    "_id": mongoose.Types.ObjectId(req.params.id),
    "someArray": {
      "$elemMatch": { "$gte": start, "$lt": end }
    }
  }},
  { "$project": {
    "name": 1,
    "someArray": {
      "$filter": {
        "input": "$someArray",
        "cond": {
          "$and": [
            { "$gte": [ "$$this.Timestamp", start ] }
            { "$lt": [ "$$this.Timestamp", end ] }
          ]
        }
      }
    }
  }}
]).then( docs => {
  /* remember aggregate returns an array always, so if you expect only one
   * then it's index 0
   *
   * But now the only items in 'someArray` are the matching ones, so you don't need 
   * the code you were writing to just pull out the matching ones
   */
   console.log(docs[0].someArray);
  
}).catch(e => { console.err(e); res.send(e); })

Las cosas a tener en cuenta son que en el aggregate() necesitas realmente "lanzar" el ObjectId value, porque Mongoose "autocasting" no funciona aquí. Normalmente, mongoose lee del esquema para determinar cómo convertir los datos, pero dado que las canalizaciones de agregación "cambian las cosas", esto no sucede.

El $elemMatch está ahí porque como dice la documentación :

En resumen $gte y $lt son una condición AND y cuentan como "dos", por lo tanto, la forma simple de "notación de puntos" no se aplica. También es $lt y no $lte , ya que tiene más sentido ser "menor que" el "día siguiente" que buscar la igualdad hasta el "último milisegundo".

El $filter por supuesto, hace exactamente lo que sugiere su nombre y "filtra" el contenido real de la matriz para que solo queden los elementos coincidentes.

Demostración

La lista de demostración completa crea dos documentos, uno con solo dos elementos de matriz que en realidad coinciden con el intervalo de fechas. La primera consulta muestra que el documento correcto coincide con el rango. El segundo muestra el "filtrado" de la matriz:

const { Schema, Types: { ObjectId } } = mongoose = require('mongoose');

const uri = 'mongodb://localhost/test';

mongoose.Promise = global.Promise;
mongoose.set('debug',true);

const subSchema = new Schema({
  timestamp: Date,
  other: String
});

const testSchema = new Schema({
  name: String,
  someArray: [subSchema]
});

const Test = mongoose.model('Test', testSchema, 'filtertest');

const log = data => console.log(JSON.stringify(data, undefined, 2));

const startDate = new Date("2018-06-01");
const endDate = new Date("2018-07-01");

(function() {

  mongoose.connect(uri)
    .then(conn =>
      Promise.all(Object.entries(conn.models).map(([k,m]) => m.remove()))
    )
    .then(() =>
      Test.insertMany([
        {
          _id: "5b1522f5cdac0b6da18f7618",
          name: 'A',
          someArray: [
            { timestamp: new Date("2018-06-01"), other: "C" },
            { timestamp: new Date("2018-07-04"), other: "D" },
            { timestamp: new Date("2018-06-10"), other: "E" }
          ]
        },
        {
          _id: "5b1522f5cdac0b6da18f761c",
          name: 'B',
          someArray: [
            { timestamp: new Date("2018-07-04"), other: "D" },
          ]
        }
      ])
    )
    .then(() =>
      Test.find({
        "someArray": {
          "$elemMatch": {
            "timestamp": { "$gte": startDate, "$lt": endDate }
          }
        }
      }).then(docs => log({ docs }))
    )
    .then(() =>
      Test.aggregate([
        { "$match": {
          "_id": ObjectId("5b1522f5cdac0b6da18f7618"),
          "someArray": {
            "$elemMatch": {
              "timestamp": { "$gte": startDate, "$lt": endDate }
            }
          }
        }},
        { "$addFields": {
          "someArray": {
            "$filter": {
              "input": "$someArray",
              "cond": {
                "$and": [
                  { "$gte": [ "$$this.timestamp", startDate ] },
                  { "$lt": [ "$$this.timestamp", endDate ] }
                ]
              }
            }
          }
        }}
      ]).then( filtered => log({ filtered }))
    )
    .catch(e => console.error(e))
    .then(() => mongoose.disconnect());

})()

O un poco más moderno con async/await sintaxis:

const { Schema, Types: { ObjectId } } = mongoose = require('mongoose');

const uri = 'mongodb://localhost/test';

mongoose.Promise = global.Promise;
mongoose.set('debug',true);

const subSchema = new Schema({
  timestamp: Date,
  other: String
});

const testSchema = new Schema({
  name: String,
  someArray: [subSchema]
});

const Test = mongoose.model('Test', testSchema, 'filtertest');

const log = data => console.log(JSON.stringify(data, undefined, 2));

(async function() {

  try {

    const startDate = new Date("2018-06-01");
    const endDate = new Date("2018-07-01");

    const conn = await mongoose.connect(uri);

    // Clean collections
    await Promise.all(Object.entries(conn.models).map(([k,m]) => m.remove()));

    // Create test items

    await Test.insertMany([
      {
        _id: "5b1522f5cdac0b6da18f7618",
        name: 'A',
        someArray: [
          { timestamp: new Date("2018-06-01"), other: "C" },
          { timestamp: new Date("2018-07-04"), other: "D" },
          { timestamp: new Date("2018-06-10"), other: "E" }
        ]
      },
      {
        _id: "5b1522f5cdac0b6da18f761c",
        name: 'B',
        someArray: [
          { timestamp: new Date("2018-07-04"), other: "D" },
        ]
      }
    ]);



    // Select matching 'documents'
    let docs = await Test.find({
      "someArray": {
        "$elemMatch": {
          "timestamp": { "$gte": startDate, "$lt": endDate }
        }
      }
    });
    log({ docs });

    let filtered = await Test.aggregate([
      { "$match": {
        "_id": ObjectId("5b1522f5cdac0b6da18f7618"),
        "someArray": {
          "$elemMatch": {
            "timestamp": { "$gte": startDate, "$lt": endDate }
          }
        }
      }},
      { "$addFields": {
        "someArray": {
          "$filter": {
            "input": "$someArray",
            "cond": {
              "$and": [
                { "$gte": [ "$$this.timestamp", startDate ] },
                { "$lt": [ "$$this.timestamp", endDate ] }
              ]
            }
          }
        }
      }}
    ]);
    log({ filtered });

    mongoose.disconnect();

  } catch(e) {
    console.error(e)
  } finally {
    process.exit()
  }

})()

Ambos son iguales y dan el mismo resultado:

Mongoose: filtertest.remove({}, {})
Mongoose: filtertest.insertMany([ { _id: 5b1522f5cdac0b6da18f7618, name: 'A', someArray: [ { _id: 5b1526952794447083ababf6, timestamp: 2018-06-01T00:00:00.000Z, other: 'C' }, { _id: 5b1526952794447083ababf5, timestamp: 2018-07-04T00:00:00.000Z, other: 'D' }, { _id: 5b1526952794447083ababf4, timestamp: 2018-06-10T00:00:00.000Z, other: 'E' } ], __v: 0 }, { _id: 5b1522f5cdac0b6da18f761c, name: 'B', someArray: [ { _id: 5b1526952794447083ababf8, timestamp: 2018-07-04T00:00:00.000Z, other: 'D' } ], __v: 0 } ], {})
Mongoose: filtertest.find({ someArray: { '$elemMatch': { timestamp: { '$gte': new Date("Fri, 01 Jun 2018 00:00:00 GMT"), '$lt': new Date("Sun, 01 Jul 2018 00:00:00 GMT") } } } }, { fields: {} })
{
  "docs": [
    {
      "_id": "5b1522f5cdac0b6da18f7618",
      "name": "A",
      "someArray": [
        {
          "_id": "5b1526952794447083ababf6",
          "timestamp": "2018-06-01T00:00:00.000Z",
          "other": "C"
        },
        {
          "_id": "5b1526952794447083ababf5",
          "timestamp": "2018-07-04T00:00:00.000Z",
          "other": "D"
        },
        {
          "_id": "5b1526952794447083ababf4",
          "timestamp": "2018-06-10T00:00:00.000Z",
          "other": "E"
        }
      ],
      "__v": 0
    }
  ]
}
Mongoose: filtertest.aggregate([ { '$match': { _id: 5b1522f5cdac0b6da18f7618, someArray: { '$elemMatch': { timestamp: { '$gte': 2018-06-01T00:00:00.000Z, '$lt': 2018-07-01T00:00:00.000Z } } } } }, { '$addFields': { someArray: { '$filter': { input: '$someArray', cond: { '$and': [ { '$gte': [ '$$this.timestamp', 2018-06-01T00:00:00.000Z ] }, { '$lt': [ '$$this.timestamp', 2018-07-01T00:00:00.000Z ] } ] } } } } } ], {})
{
  "filtered": [
    {
      "_id": "5b1522f5cdac0b6da18f7618",
      "name": "A",
      "someArray": [
        {
          "_id": "5b1526952794447083ababf6",
          "timestamp": "2018-06-01T00:00:00.000Z",
          "other": "C"
        },
        {
          "_id": "5b1526952794447083ababf4",
          "timestamp": "2018-06-10T00:00:00.000Z",
          "other": "E"
        }
      ],
      "__v": 0
    }
  ]
}