¿Cómo hacer coincidir la frase exacta con la cadena dinámica en el índice de texto Mongodb?

Su consulta es incorrecta. Necesitas cambiar la consulta

db.words.find({ "$text": { "$search": `"\"${text}\"` } })

a

db.words.find({ "$text": { "$search": `\"${text}\"` } })

Dado que hay una comilla doble extra (" ) al principio después de la primera comilla inversa. Hacer eso arreglará su consulta.

Ilustración sencilla:

console.log("\"cake sale\"");

var text = "cake sale";
console.log(`\"${text}\"`);
// both the console.log gives same result