mongoose document.save no funciona

Elimina el process.exit() parte, o envuélvalo en un tiempo de espera. No le da a su base de datos suficiente tiempo para ejecutarse. P.ej. pon esto al final en su lugar:

...
setTimeout(() => process.exit(0), 2000); 

Editar:o agregar promesas, como alguien comentó:

exports.addUser = function(user, password) {
  var data = new User({ _id: user, password: password });
  return data.save()
  .then(() => console.log('User ' + user + ' added'))
  .catch(function(error) {
    console.log('ERROR: ' + error);
    else {  return false; }
 });  
};

Luego, en tu ciclo principal:

const promises = users.map(userData => addUser(userData));
Promise.all(promises)
.then(() => {
  console.log('All users added.');
  // .. do another async operation here, or process.exit();
});