¿Cómo publicar datos en la colección mongo usando Mean stack?

El seguimiento de la pila de errores angulares es muy claro.
No maneja este punto final específico para su consulta POST en su enrutador express.

Entonces el servidor arroja un error 404 , como debería.

Prueba algo como esto:

router
    .post('/api/users', function (req, res) {
       // do what you want with your user here
    })

Con express (y NodeJS) debe especificar explícitamente cada acceso a los recursos del servidor.

Como nota al margen, está bastante cerca de esto, pero intente mantener la lógica de su aplicación simple para el mantenimiento.