¿Cómo puedo hacer una consulta con mongoose desde una función usando un parámetro?

Utilice la notación de paréntesis para crear el objeto de consulta dinámicamente, por lo que podría reestructurar su función de la siguiente manera:

function _partialSearch (Model, searchText, key, res) {
    var search = new RegExp(searchText, "i"),
        query = {};
    query[key] = { $regex : search };

    Model.find(query)
         .exec(function (err, docs) {
            if(err) log(err);
            else {
                res.json(docs);
            }
         });
}