Agregación de Mongo DB con matriz de objetos

Puedes usar $elemMatch muy bien, solo tienes que poner $and / $or en el nivel superior.

Su primer ejemplo sería

db.products.find({
  $and: [
    { 
      specification: {
        $elemMatch: { key: 'Name', value: 'value 1' }
      }
    },
    {
      specification: {
        $elemMatch: { key: 'Category', value: { $in: ['value 1', 'value 2'] } }
      }
    },
    { 
      specification: {
        $elemMatch: { key: 'Department', value: 'value 3' }
      }
    }
  ]
})