¿Cómo ejecuto procedimientos privados en un paquete de Oracle?

Creo que deberías hacer esto:

CREATE OR REPLACE PACKAGE BODY testPackage AS
PROCEDURE privateProc; --Forward declaration

PROCEDURE publicProc IS
  BEGIN    
    privateProc();
END;

PROCEDURE privateProc IS
BEGIN    
  DBMS_OUTPUT.PUT_LINE('test');
END;
END testPackage;

Simplemente llame a privateProc como si fuera parte del idioma. Ejecutar es para ejecutar DML o SQL dentro de su PL/SQL.