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Consulta de Oracle para obtener una fecha particular

Según la descripción de su pregunta y comentarios, desea algo como:

case when start_date = next_day(trunc(start_date, 'MM') - 1, 'Sunday') -- date is on first sunday
     then next_day(start_date, 'Sunday') -- next Sunday, which is second in month
     else next_day(last_day(start_date), 'Sunday') -- first Sunday of next month
end

Con algunas fechas de muestra en un CTE, incluyendo algunas discutidas pero también otras:

with cte (start_date) as (
            select date '2018-05-30' from dual
  union all select date '2018-06-01' from dual
  union all select date '2018-06-02' from dual
  union all select date '2018-06-03' from dual
  union all select date '2018-06-04' from dual
  union all select date '2018-06-30' from dual
  union all select date '2018-07-01' from dual
  union all select date '2018-07-02' from dual
  union all select date '2018-07-03' from dual
  union all select date '2018-07-04' from dual
  union all select date '2018-07-05' from dual
  union all select date '2018-07-06' from dual
  union all select date '2018-07-07' from dual
  union all select date '2018-07-08' from dual
  union all select date '2018-07-31' from dual
  union all select date '2018-08-01' from dual
  union all select date '2018-08-02' from dual
  union all select date '2018-08-03' from dual
  union all select date '2018-08-04' from dual
  union all select date '2018-08-05' from dual
  union all select date '2018-08-06' from dual
)
select start_date,
  to_char(start_date, 'Dy') as day,
  case when to_char(start_date, 'Dy') = 'Sun'
       then 'Yes' else 'No' end as is_sunday,
  case when start_date = next_day(trunc(start_date, 'MM') - 1, 'Sunday')
       then 'Yes' else 'No' end as is_first_sunday,
  next_day(trunc(start_date, 'MM') - 1, 'Sunday') as first_sun_this_month,
  next_day(trunc(start_date, 'MM') + 6, 'Sunday') as second_sun_this_month,
  next_day(last_day(start_date), 'Sunday') as first_sun_next_month,
  case when start_date = next_day(trunc(start_date, 'MM') - 1, 'Sunday') -- date is on first sunday
       then next_day(start_date, 'Sunday') -- next Sunday, which is second in month
       else next_day(last_day(start_date), 'Sunday') -- first Sunday of next month
  end as result
from cte;

obtiene

START_DATE DAY          IS_ IS_ FIRST_SUN_ SECOND_SUN FIRST_SUN_ RESULT    
---------- ------------ --- --- ---------- ---------- ---------- ----------
2018-05-30 Wed          No  No  2018-05-06 2018-05-13 2018-06-03 2018-06-03
2018-06-01 Fri          No  No  2018-06-03 2018-06-10 2018-07-01 2018-07-01
2018-06-02 Sat          No  No  2018-06-03 2018-06-10 2018-07-01 2018-07-01
2018-06-03 Sun          Yes Yes 2018-06-03 2018-06-10 2018-07-01 2018-06-10
2018-06-04 Mon          No  No  2018-06-03 2018-06-10 2018-07-01 2018-07-01
2018-06-30 Sat          No  No  2018-06-03 2018-06-10 2018-07-01 2018-07-01
2018-07-01 Sun          Yes Yes 2018-07-01 2018-07-08 2018-08-05 2018-07-08
2018-07-02 Mon          No  No  2018-07-01 2018-07-08 2018-08-05 2018-08-05
2018-07-03 Tue          No  No  2018-07-01 2018-07-08 2018-08-05 2018-08-05
2018-07-04 Wed          No  No  2018-07-01 2018-07-08 2018-08-05 2018-08-05
2018-07-05 Thu          No  No  2018-07-01 2018-07-08 2018-08-05 2018-08-05
2018-07-06 Fri          No  No  2018-07-01 2018-07-08 2018-08-05 2018-08-05
2018-07-07 Sat          No  No  2018-07-01 2018-07-08 2018-08-05 2018-08-05
2018-07-08 Sun          Yes No  2018-07-01 2018-07-08 2018-08-05 2018-08-05
2018-07-31 Tue          No  No  2018-07-01 2018-07-08 2018-08-05 2018-08-05
2018-08-01 Wed          No  No  2018-08-05 2018-08-12 2018-09-02 2018-09-02
2018-08-02 Thu          No  No  2018-08-05 2018-08-12 2018-09-02 2018-09-02
2018-08-03 Fri          No  No  2018-08-05 2018-08-12 2018-09-02 2018-09-02
2018-08-04 Sat          No  No  2018-08-05 2018-08-12 2018-09-02 2018-09-02
2018-08-05 Sun          Yes Yes 2018-08-05 2018-08-12 2018-09-02 2018-08-12
2018-08-06 Mon          No  No  2018-08-05 2018-08-12 2018-09-02 2018-09-02

El result columna es la que le interesa, las otras solo intentan mostrar un poco el funcionamiento.

Parece extraño tener las fechas de resultado fuera de secuencia en comparación con las fechas de entrada:2018-06-03 va a 2018--06-10 y luego las anteriores y posteriores van a 2018-07-01. Pero eso parece ser lo que quieres.