MySQL - Reemplazar carácter en columnas

Simplemente ejecutando SELECT declaración no tendrá ningún efecto sobre los datos. Tienes que usar un UPDATE declaración con el REPLACE para que se produzca el cambio:

UPDATE photos
   SET caption = REPLACE(caption,'"','\'')

Aquí hay una muestra funcional:https://sqlize.com/7FjtEyeLAh