Esto funciona para mí:
mysql> SELECT MONTH(FROM_UNIXTIME(1369967316));
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| MONTH(FROM_UNIXTIME(1369967316)) |
+----------------------------------+
| 5 |
+----------------------------------+
Es probable que su problema provenga del hecho de que 1369967316 es el 30 de mayo, no el de junio (como esperaba), lo que resulta en una desigualdad con MONTH(CURDATE()) .
mysql> SELECT FROM_UNIXTIME(1369967316);
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| FROM_UNIXTIME(1369967316) |
+---------------------------+
| 2013-05-30 22:28:36 |
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