La llamada Ajax devuelve la página completa en lugar de solo el valor de eco

¡Sí! Debe eliminar cualquier HTML en el archivo connect_db.php. Recomiendo almacenar una variable en ese archivo para verificar si su conexión fue exitosa. Por ejemplo:

conectar_db.php

$isConnected = false;
$dbError = "";
if ($dbc=mysqli_connect('localhost','*****','*****','ff') {
    $isConnected = true;
} else {
    $dbError = mysqli_connect_error();
}

otros archivos

require("connect_db.php");

if($isConnected) {
    //DO ALL YO STUFF!!
} else {
    //HANDLE THE ERROR AS YOU LIKE, LIKE PRINTING IT OUT
    echo $dbError;
}

Hacer esto le permitirá manejar la lógica de la base de datos en sus archivos si no se conecta para que pueda manejar las conexiones fallidas con gracia.