Cómo recortar los primeros tres caracteres en función de la primera letra (expresión) antes de insertarlos en la base de datos

Simplemente puede usar REPLACE() :

SELECT REPLACE(t.mobile,'+91','') as mobile
FROM YourTable t

O si quieres cambiarlo en la base de datos:

UPDATE YourTable t
SET t.mobile = REPLACE(t.mobile,'+91','')