¿Cómo acceder a la conexión mysqli en otra clase en otra página?

Su DBConnection la clase necesitaría un método adicional:

public function getLink()
{
    return $this->mysqli;
}

Parece que su User original la clase era una subclase de DBConnection , porque mysqli propiedad en DBConnection está protected y User la clase tiene un parent::__construct() llamar.

Es mejor usar la inyección de dependencia, por lo que su User la clase recibirá su conexión a la base de datos a través del constructor:

public function __construct(DBConnection $db)
{
    $this->mysqli = $db->getLink();
}

Luego, desde su código puede ejecutar:

$db = new DBConnection;
$uObj = new User($db);