¿Es posible mover un registro de una tabla a otra usando una sola instrucción SQL?

No, no puede mover registros en una instrucción SQL. Tienes que usar un INSERT seguido de DELETE declaración. Debe incluir estas declaraciones en una transacción , para asegurarse de que la operación de copia siga siendo atómica.

START TRANSACTION;

INSERT INTO 
    new_table 
SELECT 
    *
FROM
    old_table
WHERE
    some_field = 'your_criteria';

DELETE FROM old_table WHERE some_field = 'your_criteria';

COMMIT;