Estás escapando del $ en la variable haciendo \$ .Prueba:
$query = "SELECT * FROM `cats` WHERE name='$name'";
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De la discusión a continuación.
El problema con el undefined index es el hecho de que estás usando $row['age'] cuando en realidad, el nombre de la columna en la base de datos es Age . Por lo tanto, debe usar $row['Age'] al referirse al artículo. Lo mismo ocurre con name .
