Campo de actualización de MySQL basado en el valor mínimo de otro campo cuando se agrupa por un tercero

Puedes hacer esto calculando el min() y usando un join para hacer el filtrado:

update t join
       (select date, min(value) as minvalue
        from t
        group by date
       ) tmin
       on t.date = tmin.date and t.value = tmin.minvalue
    set tag = 1;