Laravel (5.3) Eloquent - Problema de relación

Puedes probar como:

// returns array of genre_ids associate with the TheMovies.id => 1

$genre_ids = TheGenres::whereHas('TheMovies', function($q) {
    $q->where('id', 1);
})->pluck('id')->toArray();

Luego usa esos $genre_ids para buscar las películas relacionadas como:

TheMovies::whereHas('TheGenres', function($q) use($genre_ids) {
    $q->whereIn('id', $genre_ids);
})->get();

Actualizar

Asumiendo que tienes:

$genre_ids = [21, 23];

entonces su consulta puede ser como:

TheMovies::whereHas('TheGenres', function($q) use($genre_ids) {
    $q->whereIn('genreID', $genre_ids)
        ->groupBy('movieID')
        ->havingRaw('COUNT(DISTINCT genreID) = 2');
})->get();

Nota:no lo he probado, pero puedes intentarlo.