La numeración de filas de mysql restablece cada valor de registro diferente

Puede tener una subconsulta correlacionada que cuente secuencialmente la fila que se puede usar como número de fila.

SELECT  A.ID, 
        A.plate_number, 
        (
            SELECT  COUNT(*)
            FROM    tableName c
            WHERE   c.plate_number = a.plate_number AND
                    c.ID <= a.ID) AS RowNumber
FROM    TableName a

• Demostración de SQLFiddle