La ruta requerida siempre es relativa a la lista de directorios definidos en la configuración del archivo ini include_path. Por lo tanto, normalmente no terminaría con una ruta completa, sino con una ruta relativa del valor de include_path. Tenga en cuenta que puede establecer la configuración include_path en PHP desde el archivo httpd.conf si lo desea de manera similar a lo que ha hecho con la configuración php_flag en su ejemplo.
Apenas puedo leer la captura de pantalla, pero creo que la respuesta de alimentación con cuchara es:
agregue esta línea a su configuración de apache:
php_value "include_path" "/Users/ratthijs/Desktop/PushChatServer/api"
Y luego podrías simplemente decir:
require_once('api.php');
