¿Cómo actualizar la base de datos mientras marca la casilla de verificación con jquery?

Casi lo tienes. solo necesita leer el estado de su casilla de verificación y devolverlo con su solicitud POST.

$(function(){
    $("#myonoffswitch").click(function(){
        var isOn = $("#myonoffswitch").prop("checked");
        $.post("notification.php", { 'onoffswitch': isOn }, function (result) {
            //handle success here
        });
    });