Parece que no puedo averiguar cómo actualizar mi última hora de inicio de sesión

En su consulta aquí:

UPDATE users_table SET 'date_last_inlog' = NOW() WHERE user_name  = '$user_name'

Intente eliminar las comillas alrededor de date_last_inlog o cambiándolos a acentos graves:

UPDATE users_table SET date_last_inlog = NOW() WHERE user_name  = '$user_name'

Además, no use el mysql_* funciones, use mysqli o PDO en cambio. Su código es vulnerable a la inyección SQL.