La agregación de MongoDB con $ búsqueda solo incluye (o proyecta) algunos campos para devolver de la consulta

Solo para ayudar a otros con esto, @SiddhartAjmera tiene la respuesta correcta, solo necesitaba agregar comillas dobles para valores anidados como "campaign.clientid".

El código final debe ser:

db.somecollection.aggregate([
      {
        "$lookup": {
          "from": "campaigns",
          "localField": "campId",
          "foreignField": "_id",
          "as": "campaign"
        }
      },
      {
        "$unwind": "$campaign"
      },
      {
        "$lookup": {
          "from": "entities",
          "localField": "campaign.clientid",
          "foreignField": "_id",
          "as": "campaign.client"
        }
      },
      {
        "$project": {
          "_id": 1,
          "campId": 1,
          "articleId": 1,
          "campaign._id": 1,
          "campaign.clientid": 1,
          "campaign.client._id": 1,
          "campaign.client.username": 1
        }
      }
]);