Cómo eliminar documentos devueltos por una consulta de agregación en mongodb

Desde la eliminación no tiene una condición de consulta, coincidirá con todos los documentos y se eliminará independientemente del resultado de la agregación.

Solución (coincidir con los ID del documento de cursor actual):

db.getCollection("Collection")
  .aggregate([
    {
      $match: { status: { $in: ["inserted", "done", "duplicated", "error"] } }
    },
    {
      $project: {
        yearMonthDay: { $dateToString: { format: "%Y-%m-%d", date: "$date" } }
      }
    },
    { $match: { yearMonthDay: { $eq: "2019-08-06" } } }
  ])
  .forEach(function(doc) {
    db.getCollection("Collection").remove({ "_id": doc._id });
  });

Otra mejor solución sería tener un solo viaje de ida y vuelta a la base de datos mientras que la eliminación es obtener una lista de ID de la agregación cursor() a través de cursor.map()

var idsList = db
  .getCollection("Collection")
  .aggregate([
    {
      $match: { status: { $in: ["inserted", "done", "duplicated", "error"] } }
    },
    {
      $project: {
        yearMonthDay: { $dateToString: { format: "%Y-%m-%d", date: "$date" } }
      }
    },
    { $match: { yearMonthDay: { $eq: "2019-08-06" } } }
  ])
  .map(function(d) {
    return d._id;
  });

//now delete those documents via $in operator
db.getCollection("Collection").remove({ _id: { $in: idsList } });