Proyecto con Match en conjunto no funciona en mongodb

Olvidaste proyectar los campos que estás usando en $match y $group mas tarde. Para una solución rápida, use esta consulta en su lugar:

Offer.aggregate([
{
    $project: {
        myyear: { $year: "$ending_date" },
        carer_id: 1,
        status: 1,
        ending_date: 1
    }
},
{ 
    $match: { 
        carer_id: req.params.carer_id,
        myyear: 2015,
        status: 3
    }
},
{
    $group: {
        _id: {
            year: { $year: "$ending_date" },
            month: { $month: "$ending_date" }
        }, 
        count: { $sum: 1 }
    }
}], 
function (err, res)
{
    if (err) {} // TODO handle error 
    console.log(res); 
});

Dicho esto, Blakes Seven explicó cómo hacer una mejor consulta en su respuesta. Creo que deberías intentar usar su enfoque en su lugar.