si entendí bien tu pregunta, quieres hacer coincidir name campo con we clave y actualice arr solo si existe?, debe usar elemMatch, en otro para obtener el documento correcto
db.test.update({ list: { $elemMatch: { name: "We" , arr: { $nin: [ "valuette" ] }} } }, { $push: { "list.$.arr": "valuette" } } );
el $ en "list.$.arr" coincide con el índice especificado que coincide con name campo con we valor
actualización:para responder a la pregunta OP
