Creo que tendrá que hacer dos consultas separadas aquí. Eso es demasiado condicional para que lo maneje el analizador de consultas de MongoDB.
Por lo tanto, deberá poner su lógica en dos consultas separadas y la segunda se verá así:
$db->akis->update(
array("h" => (string) $_SESSION["_id"], "m" => array('$exists' => true)),
array('$set' => array("i" => $name)),
array("multiple" => true)
);
Corriendo uno tras otro.
