Obtenga documentos con objetos anidados que coincidan con la condición de conteo

Puede usar el marco de agregación para hacer esto. Usted no necesita para usar el $where operador.

db.collection.aggregate([
    { "$match": { "cats.color": "white" }},
    { "$project": { 
        "nwhite": { "$map": { 
            "input": "$cats", 
            "as": "c",
            "in": { "$cond": [
                { "$eq": [ "$$c.color", "white" ] },
                1, 
                0
            ]}
        }}, 
        "cats": 1
     }},
     { "$unwind": "$nwhite" }, 
     { "$group": { 
         "_id": "$_id", 
         "cats": { "$first": "$cats" }, 
         "nwhite": { "$sum": "$nwhite" }
     }},
    { "$match": { "nwhite": { "$gte" :2 } } } 
])