¿Cómo conectarse a la base de datos de SQL Server desde JavaScript en el navegador?

No debería usar cliente javascript para acceder a bases de datos por varias razones (malas prácticas, problemas de seguridad, etc.) pero si realmente quiere hacer esto, aquí tiene un ejemplo:

var connection = new ActiveXObject("ADODB.Connection") ;

var connectionstring="Data Source=<server>;Initial Catalog=<catalog>;User ID=<user>;Password=<password>;Provider=SQLOLEDB";

connection.Open(connectionstring);
var rs = new ActiveXObject("ADODB.Recordset");

rs.Open("SELECT * FROM table", connection);
rs.MoveFirst
while(!rs.eof)
{
   document.write(rs.fields(1));
   rs.movenext;
}

rs.close;
connection.close; 

Una mejor manera de conectarse a un servidor sql sería usar algún lenguaje del lado del servidor como PHP, Java, .NET, entre otros. El javascript del cliente debe usarse solo para las interfaces.

Y hay rumores de una antigua leyenda sobre la existencia del servidor javascript, pero esta es otra historia.;)