Cómo obtener el nombre de la clase del controlador (no el nombre del controlador) de la conexión jdbc

Creo que lo mejor que puedes esperar es:

DriverManager.getDriver(ds.getConnection().getMetaData().getURL()).getClass();

Los metadatos deben devolver la URL para esta conexión y el prefijo de la URL debe registrarse con DriverManager (únicamente).