¿Cómo actualizar la misma tabla al eliminar en MYSQL?

Use un procedimiento almacenado :

UPDATE b
   SET b.mssn = a.mssn
  FROM EMPLOYEE a
  JOIN EMPLOYEE b ON b.mssn = a.ssn
 WHERE a.ssn = @deletedBoss

DELETE FROM employee WHERE ssn = @deletedBoss

Con un procedimiento almacenado, simplemente puede eliminar las filas que desee y, luego, actualizar la misma tabla. Eso debería evitar el mensaje de error.