AJAX actualiza la base de datos MYSQL usando la función llamada desde HTML generado desde PHP

Hay algunos errores en este código, déjame ayudarte línea por línea.

echo "<td> <img id='tblimg' 
onclick=\'like('" . $row['Username'] . "');\' 
src='like.jpg' alt='like/dislike image' 
width='80px' height='30px'></td>";

La función javascript es:

Escape sus citas para el evento onclick primero

    function like(user) 
    {

        $.ajax({
            url: "update.php",
            type: "POST",
            data: { 'username': user, 'liked': '1' },                   
            success: function()
                        {
                            alert("ok");                                    
                        }
        });
    }

agregue { y } a la llamada ajax

Eliminar las comillas del nombre de la tabla y los campos

$sql = "UPDATE followers SET Liked = '$Liked' WHERE Username = '$Username'";

en ajax con éxito y después de que comience la función, siempre puede imprimir un mensaje para ver si se está llamando a su función, y si el script php devuelve algún error, use una alerta para eso

ACTUALIZAR

success: function(data){
   alert(data); // this will print you any php / mysql error as an alert                                    
}

ACTUALIZACIÓN 2

Escribe tu opción onclick así.

echo "<img onclick=\"like('" . $row['Username']. "');\" 
src='like.jpg' alt='like/dislike image' 
width='80px' height='30px' />";