Primero tienes que hacer una configuración inicial para el compilador de mysql en el sistema operativo, al menos por lo que entiendo.
Asegúrese de tener una colección de compiladores
sudo yum install gcc
Asegúrese de que mysql esté configurado para fines de desarrollo
sudo yum install -y mysql-devel
Intenta reinstalar
pip install mysqlclient==1.3.12
Espero que esto ayude, ya que pareció funcionar para mí. Encontré esto aquí
donde encontré el equivalente a sudo apt-get install libmysqlclient-dev de ubuntu
