Conservar los valores del cuadro de texto incluso después de actualizar

¡Oh, sí! Puedes usar localStorage o sessionStorage de HTML5.

sessionStorage lo mantendrá hasta que una sesión esté activa pero localStorage lo conservará hasta que lo elimine manualmente.

Vea a continuación las formas en que puede almacenarlo en cualquiera de ellos:

A la tienda:

localStorage.setItem('somekey','textboxValue') 
//or 
sessionStorage.setItem('somekey','textboxvalue')

Para recuperar

localStorage.getItem('somekey')
//or
sessionStorage.getItem('somekey');