¿Hay alguna forma de detectar errores de base de datos y MySQL en PHP?

Si no desea que PHP muestre la advertencia, debe usar el operador "@"

$connect = @mysql_connect(HOST, USER, PASS);//won't display the warning if any.
if (!$connect) { echo 'Server error. Please try again sometime. CON'; }

También puede considerar configurar display_errors a 0 en tu php.ini archivo en producción

También puede considerar PDO para conectarse a MySQL, utiliza excepciones de manera predeterminada para informar errores,

try {
    $dbh = new PDO($dsn, $user, $password);
} catch (PDOException $e) {
    echo 'Could not connect : ' . $e->getMessage();
}