Envíe el formulario sin recargar usando jQuery AJAX en PHP MySQL

Si está usando ajax, no es necesario usar el tipo de entrada como submit use el botón button .

$(document).ready(function() {
$("#signup").click(function(e) {
    e.preventDefault();
    $.ajax({
  type: 'POST',
  url: 'signup.php',
  data: $('form').serialize()
  success: function() {
    console.log("Signup was successful");
  }
  error: function() {
    console.log("Signup was unsuccessful");
  }
});
});

También cambia aquí

$post_FirstName = $_POST['first']; // name is `first` not `firstname`