Debe usar mysql_result y obtener la primera columna del resultado. Así:
$result = mysql_query("SELECT COUNT(user) FROM game_paths WHERE user='$user'");
$count = mysql_result($result, 0);
También puede crear un alias para la columna de esta manera:
$result = mysql_query("SELECT COUNT(user) AS total FROM game_paths WHERE user='$user'");
$data = mysql_fetch_assoc($result);
$count = $data['total'];
Lo que podría ser mejor si va a seleccionar varias columnas al mismo tiempo, y también por legibilidad.
