consulta mysql PHP:quiero que un elemento específico sea el primero y puedo modificar la consulta cuántos elementos se mostrarán

Creo que necesita enumerar los valores, y las variables son la forma más sencilla. Luego, una combinación adicional le brinda la información que necesita para ordenar por los nombres más frecuentes en la tabla:

select t.*
from (select t.*,
             (@rn := if(@n = name, @rn + 1,
                        if(@rn := name, 1, 1)
                       )
             ) as rn
      from t cross join
           (select @n := '', @rn := 0
      order by name
     ) t join
     (select name, count(*) as cnt
      from t
      group by name
     ) tn
     on t.name = tn.name
where rn <= 4
order by cnt desc, name;