MySQL:realizar una búsqueda básica

En su forma más simple, usaría LIKE comparación:

SELECT * FROM table WHERE name LIKE '%smith%';

Se pueden realizar búsquedas más elaboradas con el índice FULLTEXT (grandes cantidades de texto), SOUNDEX() (funciona en palabras en el idioma inglés, la coincidencia en otros idiomas es todo, desde 'algo factible' hasta 'terrible'), distancia levenshtein de palabras, etc.