Mongodb cuenta distinta con múltiples campos de grupo

Parte del camino hasta allí, pero primero debe obtener los valores "distintos" para "tipo_de_vacaciones", luego $group de nuevo:

db.transactions.aggregate([
    { "$group": { 
        "_id": { 
            "employee" : "$employee",
            "Month": { "$month" : "$date" }, 
            "Year": { "$year" : "$date" },
            "holiday_type" : "$holiday_type"
        },
     }},
     { "$group": {
         "_id": {
            "employee" : "$_id.employee",
            "Month": "$_id.Month",
            "Year": "$_id.Year"
         },
         "count": { "$sum": 1 }
     }}
 ], { "allowDiskUse": true }
 );

Ese es el proceso general, ya que "distinto" en SQL es una especie de operación de agrupación en sí misma. Entonces es un doble $group operación para obtener el resultado correcto.